Esperanza Buitrago Díaz**
Francisco Soler Peña***
RESUMEN
El presente artículo tiene como objetivo mostrar las ideas mediante las cuales Gottlob Frege pretende sostener la tesis en la que tanto lo verdadero como lo falso son objetos del mundo empírico. Para esto nos valemos de los conceptos de función y relación. Leemos los conceptos de función y relación en una clave contemporánea, clave que no está en oposición a la fregeana. A partir de esto se explican las ideas del filósofo alemán. Aunque esta lectura está en concordancia con las ideas de Frege no se impide con esto que podamos construir una paradoja en su pensamiento, paradoja que permanecía oculta bajo la clave de Frege. Al final del artículo se expone la paradoja.
PALABRAS CLAVE
Función, Frege, verdad, filosofía del lenguaje, lógica.
ABSTRACT
The follow article shows the ideas which Gottlob Frege affirms the thesis: the truth and the false are objects in the empirical world. We use the concepts of function and relation. We read this concepts from a contemporary key, key is not in contradiction with de fregean one. This point of view let us to explain ideas of German philosopher. This lecture is in correspondence with Frege’s ideas, but we can to build a paradox from his philosophy, paradox is no clear under Frege’s key. Finally, we expose paradox.
KEY WORDS
Function, Frege, truth, philosophy of language, logic.
La verdad, entendida como la correspondencia entre un estado de cosas existente en el mundo empírico y una proposición, es una concepción que debe ser superada. Eso es lo que sostiene Gottlob Frege en El pensamiento: una investigación lógica (1918) y en Función y Concepto (1891). En lo que sigue, nos proponemos ilustrar de manera general las ideas de las que se vale Frege para sostener esta tesis.
Frege hace equivaler el concepto con la función. Esta equivalencia que a Frege le parece evidente no lo es para nosotros ni siquiera hoy en día. Pero esta falta de evidencia, no está referida a problemas formales de demostración sino, más bien, a la concepción que tenemos a cerca de qué es la verdad.
La verdad no es una propiedad de las proposiciones que puede ser atribuida por una cópula, sino que es un objeto existente en cuanto tal, y referido por las proposiciones. El hecho de que la verdad no sea una propiedad de las proposiciones se evidencia para Frege en dos argumentos. Primero, porque verdadero “no es una palabra relacional ni contiene indicación alguna de nada más con lo que algo haya de estar en correspondencia” (Frege, 1984: 52). Esto quiere decir que lo verdadero no pone en relación a las proposiciones con los estados de cosas fácticas. Segundo, si una proposición es verdadera no lo será más si añadimos el calificativo de verdadero a la proposición. Es decir, si P es una proposición verdadera, su veracidad no está determinada porque se profiera la frase “P es verdadera”. De hecho, su verdad está determinada por algo intrínseco a la proposición misma. Exactamente, está determinada por el hecho de que la verdad concierne al lenguaje. “En la forma de una oración asertórica expresamos el reconocimiento de la verdad (…) E incluso cuando la usamos [la palabra verdadero] la fuerza asertórica no reside en ella, sino en la forma de la oración asertórica” (Frege, 1984: 57).
Es claro, hasta aquí, que la verdad no es una propiedad de las proposiciones; es decir, no está relacionada copulativamente con la proposición, según se vio anteriormente. Avanzando en el primer argumento Frege sostiene, en contraste con que la verdad relaciona al lenguaje con los estados de cosas, que es la verdad la que está relacionada de manera directa con el lenguaje.
Para mostrar esta relación es necesario introducir un par de definiciones de función, un poco técnicas que, sin embargo, mostrarán su pertinencia más adelante. Digamos en principio que todos estamos relacionados con el ejercicio de contar. Contar es una actividad que implica, aun cuando sea de manera inconsciente, la noción de función. Esto es claro, si suponemos que cuando lo hacemos a cada símbolo que construimos corresponde uno y sólo un animal, o una unidad de comida, o un hijo o, de manera general, un objeto contado. La teoría de conjuntos, del siglo XX, construyó una definición satisfactoria de función; aún vigente. Veamos:
Definición 1. Sean A y B conjuntos cualesquiera, y R un subconjunto de A x B; esto es,
R:= {(x, y) | x pertenece a A y y pertenece a B}
Definición 2. Sean f una relación. A f se le llama función si y sólo si cumple las siguientes propiedades.
1. Para todo x, que pertenece a A, existe y que pertenece a B, tal que xfy. Esto es, (x,y) pertenece a f; y
2. Si xfy y xfz, entonces, y = z. Esto es, si (x,y) pertenece a f y (x,z) pertenece a f, entonces y = z.
En otras palabras, si tenemos dos conjuntos podemos construir un tercer conjunto que contenga parejas formadas con elementos de cada uno de los conjuntos inicial; es más, cada elemento del conjunto de partida será miembro de una sola pareja en el tercer conjunto. Aunque partimos de ejemplos numéricos, debemos hacer notar que las definiciones presentadas dan cabida a un sinnúmero de conjuntos y no sólo a conjuntos de números.
Tal vez no sea evidente para el lector que si (x, y) pertenece a f no necesariamente (y, x) pertenece a f. Suponga que se está trabajando en el conjunto de los números naturales bajo la función resta. Es claro que a una pareja de números (a, b), al aplicársele la función y decir a – b, para que exista en los naturales es necesario que a sea mayor que b. En este punto, se esclarece un poco que b – a, de ser b menor que a, no pertenece a dicho conjunto de números: Por tanto, (b, a) puede que no pertenezca a la función (1).
Cabe resaltar que una función no es una ley de correspondencia, precisamente porque el producto cartesiano se puede hacer sin tener en cuenta qué tipo de elementos pertenecen a dichos conjuntos y de qué manera están relacionados y Frege lo entendió y formuló cincuenta años antes de que Bourbaky lo formulara para las matemáticas, según se sostiene en Didáctica de la función (1994). Quizá fuera éste uno de los adelantos más significativos de Frege.
Teniendo clara la definición de función podremos continuar con nuestra exposición. Frege entiende que la verdad es algo que está en una relación funcional con el lenguaje. Frege nos dice que una frase como “La capital de x” es una expresión de una función (CF. Frege, 1984: 33). Una expresión de una función, en este sentido, es una regla que permite establecer la imagen de un elemento del conjunto de partida. De forma general, la expresión que denota una función puede escribirse como f(x) donde en el lugar de x iría cualquier valor para el cual la expresión tuviera sentido (Frege, 1984: 33 – 35). Al completar la expresión con un argumento válido decimos que la proposición así formada constituye una pareja que pertenece a f.
El aporte significativo de Frege en este momento es que sostiene que ese objeto con el cual se relaciona el objeto del conjunto de partida es precisamente la verdad. Para sostener esto se apoya en la noción de referencia, tan clara para los objetos individuales. En el texto Sentido y referencia (1890), Frege investiga la naturaleza de la igualdad y llega a un sorprendente descubrimiento que le permite afirmar: “con signo y nombre he entendido cualquier designación que represente un nombre propio, cuya referencia sea, pues, un objeto determinado” (Frege, 1984: 51). Pero ya en Función y concepto ha afirmado que con una proposición se quiere expresar un juicio, además del sentido de la misma. Este juicio es el valor de la proposición, valor que viene dado por lo verdadero o lo falso (Cf. Frege, 1984: 37). Entonces, la proposición no es otra cosa que el nombre de lo verdadero cuando la proposición es verdadera; o el nombre de lo falso cuando la proposición es falsa (Cf. Frege, 1984: 28 - 29).
Lo dicho hasta aquí nos permite presentar unas consideraciones importantes que explicaran algunos resultados tradicionales dentro de la filosofía, a la vez que mostraría una aparente paradoja.
1. Llamamos P al conjunto de todas las proposiciones Pn y J al conjunto de los juicios de valor, podemos construir el conjunto L = {(Pi, Jv) | Pi tal que P y Jv pertenece a J}. Esto quiere decir que L es el mundo de todas las posibilidades de valor para cada proposición, o, lo que es lo mismo, el espacio lógico.
2. Según definición, podemos afirmar que cada función determina para cada proposición uno y sólo un juicio de valor, así, el mundo empírico podría ser entendido como aquella relación en la cual ciertas proposiciones fueran verdaderas. Como es evidente que no todas las proposiciones pueden ser verdaderas porque esto implicaría una contradicción, podríamos entender el mundo como un conjunto de parejas ordenadas, en la cual un miembro de esas palabras fuera cada una de las proposiciones.
3. Este tercer numeral tiene por objeto presentar una paradoja. Si los elementos de J son entes en el mundo, según afirmaba Frege, deberían poseer una naturaleza empírica. Pero si esto sucede, la verdad estaría determinada por una proposición en relación con un ente que llamamos verdad. Por lo tanto la verdad existe y no existe, o, lo que es lo mismo, la verdad sería generadora de sí misma. Quizá si esto no constituye una paradoja tendríamos que afirmar que la esencia del mundo, contrario a lo que afirmó Wittgenstein en el Tractatus Logico-Philosophicus (2021), no son los objetos sino la verdad y la falsedad.
* Este artículo es un resultado parcial de la investigación del Grupo de Estudiantes FILOMA: Filosofía de la Lógica y la Matemática
** Actualmente cursa cuarto semestre de Matemáticas en la Universidad Nacional de Colombia. Puede ser contactada en el correo electrónico ebuitragod@unal.edu.co
*** Filósofo de la Universidad de La Salle. Estudiante de Matemáticas en la Universidad Nacional de Colombia y admitido al programa de Maestría en Filosofía en la misma universidad. Líder del Grupo de investigación de estudiantes, Filosofía de la Lógica y la Matemática, de la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad de La Salle. cfsolerp@unal.edu.co
1 Lo dicho hasta aquí debe quedar perfectamente claro. Si toda función fuera simétrica, que es a lo que se opone el párrafo precedente, que una proposición estuviera relacionada con la verdad sería igual a que la verdad estuviera relacionada con la(s) proposición(es). Si esto sucediera, la verdad podría formar una pareja con una y solo una proposición y, en ese caso, como se ve claramente, el mundo se reduciría a un solo estado de cosas, siendo esto una contradicción.
BIBLIOGRAFÍA
Espitia, L. et. alt. (1994). Didáctica de la función. Bogotá: Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Frege, G. (1984). Concepto y Función. En: Estudios sobre semántica. Barcelona: Ariel.
--------. (1984). Sentido y Referencia. En Estudios sobre semántica. Barcelona: Ariel.
--------. (1984). El Pensamiento: Una investigación lógica. Madrid: Tecnos.
Wittgenstein, L. (2005). Tractatus logico-philosophicus. Madrid: Alianza
0 comentarios:
Publicar un comentario